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絕密★啟用前
2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（江蘇卷）
數(shù) 學(xué)
本試360問(wèn)答卷分第I卷（填空題）和第II卷（解答題）兩部分．考生作答時(shí)，將答案答在答題卡上，在本試卷上答題無(wú)效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，認(rèn)真核對(duì)條形碼上的
準(zhǔn)考證號(hào)、姓名，并將條形碼粘貼在指定位置上．
2.選擇題答案使用2B
鉛筆填涂，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)；非選擇
題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或炭素筆書(shū)寫(xiě)，字體工整，筆跡清楚．
3.請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效．
4.保持卡面清潔，不折疊，不破損．
5.作選考題時(shí)，考生按照題目要求作答，并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)涂黑．
參考公式:
樣本數(shù)據(jù) , , , 的標(biāo)準(zhǔn)差

其中為樣本平均數(shù)
柱體體積公式

其中為底面積，為高
一、填空題：本大題共1小題，每小題5分，共問(wèn)村醫(yī)需70分．
1. 的最小正周期為，其中，則 = ▲ ．
【解析】本小題考查三角函數(shù)的周期公式.
【答案】10
2．一個(gè)骰子連續(xù)投2 次，點(diǎn)數(shù)和為4 的概率 ▲ ．
【解析】本小題考查古典概型．基本事件共6×6 個(gè)，點(diǎn)數(shù)和為4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 個(gè)，故
【答案】
3. 表示為，則 = ▲ ．
【解析】本小題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算．∵ ，∴ ＝0，＝1，因此
【答案】1
4.A= ，則A Z 的元素的個(gè)數(shù) ▲ ．
【解析】本小題考查集合的運(yùn)算和解一元二次不等式．由得 ,∵Δ＜0，∴集合A 為，因此A Z 的元素不存在．
【答案】0
5. ，的夾角為，，則 ▲ ．
【解析】本小題考查向量的線性運(yùn)算．
= ， 7
【答案】7
6.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)D是橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對(duì)值均不大于2 的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域， E是到原點(diǎn)的距離不大于1 的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，向D 中隨機(jī)投一點(diǎn)，則落入E 中的概率 ▲ ．
【解析】本小題考查古典概型．如圖：區(qū)域D 表示邊長(zhǎng)為4 的正方形的內(nèi)部（含邊界），區(qū)域E 表示單位圓及其內(nèi)部，因此．
【答案】
7.算法與統(tǒng)計(jì)的題目
8.直線是曲線的一條切線，則實(shí)數(shù)b＝ ▲ ．
【解析】本小題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線的求法．，令得，故切點(diǎn)（2，ln2），代入直線方程，得，所以b＝ln2－1．
【答案】ln2－1
9在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)三角形ABC 的頂點(diǎn)分別為A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，點(diǎn)P（0，p）在線段AO 上（異于端點(diǎn)），設(shè)a,b,c, p 均為非零實(shí)數(shù)，直線BP,CP 分別交AC , AB 于點(diǎn)E ,F ，一同學(xué)已正確算的OE的方程：，請(qǐng)你求OF的方程：
（ ▲ ） .
【解析】本小題考查直線方程的求法．畫(huà)草圖，由對(duì)稱(chēng)性可猜想填．事實(shí)上，由截距式可得直線AB：，直線CP：，兩式相減得，顯然直線AB與CP 的交點(diǎn)F 滿足此方程，又原點(diǎn)O 也滿足此方程，故為所求直線OF 的方程．
【答案】
10．將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
．．．．．．．
按照以上排列的規(guī)律，第n 行（n ≥3）從左向右的第3 個(gè)數(shù)為 ▲ ．
【解析】本小題考查歸納推理和等差數(shù)列求和公式．前n－1 行共有正整數(shù)1＋2＋…＋（n－1）個(gè)，即個(gè)，因此第n 行第3 個(gè)數(shù)是全體正整數(shù)中第＋3個(gè)，即為．
【答案】
11.已知，，則的最小值 ▲ ．
【解析】本小題考查二元基本不等式的運(yùn)用．由得，代入得
，當(dāng)且僅當(dāng) ＝3 時(shí)取“＝”．
【答案】3
12.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓 1( 0)的焦距為2，以O(shè)為圓心，為半徑的圓，過(guò)點(diǎn) 作圓的兩切線互相垂直，則離心率 = ▲ ． ? ?
【解析】設(shè)切線PA、PB 互相垂直，又半徑OA 垂直于PA，所以△OAP 是等腰直角三角形，故，解得．
【答案】
13．若AB=2, AC= BC ，則的最大值 ▲ ． ?
【解析】本小題考查三角形面積公式、余弦定理以及函數(shù)思想．設(shè)BC＝，則AC＝，
根據(jù)面積公式得 = ，根據(jù)余弦定理得
，代入上式得
=
由三角形三邊關(guān)系有解得，
故當(dāng) 時(shí)取得最大值
【答案】
14. 對(duì)于總有 ≥0 成立，則 = ▲ ．
【解析】本小題考查函數(shù)單調(diào)性的綜合運(yùn)用．若x＝0，則不論取何值， ≥0顯然成立；當(dāng)x＞0 即時(shí)， ≥0可化為，
設(shè) ，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，從而 ≥4；
當(dāng)x＜0 即時(shí)， ≥0可化為，
在區(qū)間上單調(diào)遞增，因此，從而 ≤4，綜上＝4
【答案】4
二、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．
15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以軸為始邊做兩個(gè)銳角 , ，它們的終邊分別與單位圓相交于A,B 兩點(diǎn)，已知A,B 的橫坐標(biāo)分別為．
（Ⅰ）求tan( )的值；
（Ⅱ）求的值．
【解析】本小題考查三角函數(shù)的定義、兩角和的正切、二倍角的正切公式．
由條件的，因?yàn)?, 為銳角，所以 =
因此
（Ⅰ）tan( )=
（Ⅱ），所以
∵ 為銳角，∴ ，∴ =
16．在四面體ABCD 中，CB= CD, AD⊥BD，且E ,F分別是AB,BD 的中點(diǎn)，
求證：（Ⅰ）直線EF ‖面ACD ；
（Ⅱ）面EFC⊥面BCD ．
【解析】本小題考查空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系的判定．
（Ⅰ）∵ E,F 分別是AB,BD 的中點(diǎn)，
∴EF 是△ABD 的中位線，∴EF‖AD，
∵EF 面ACD ，AD 面ACD ，∴直線EF‖面ACD ．
（Ⅱ）∵ AD⊥BD ，EF‖AD，∴ EF⊥BD.
∵CB=CD, F 是BD的中點(diǎn)，∴CF⊥BD.
又EF CF=F，∴BD⊥面EFC．∵BD 面BCD，∴面EFC⊥面BCD ．
17．某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD 的頂點(diǎn)A,B 及CD的中點(diǎn)P 處，已知AB=20km,
CB =10km ，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形ABCD 的區(qū)域上（含邊界），且A,B 與等距離的一點(diǎn)O 處建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)排污管道AO,BO,OP ，設(shè)排污管道的總長(zhǎng)為 km．

（Ⅰ）按下列要求寫(xiě)出函數(shù)關(guān)系式：
①設(shè)∠BAO= (rad)，將表示成的函數(shù)關(guān)系式；
②設(shè)OP (km) ，將表示成x 的函數(shù)關(guān)系式．
（Ⅱ）請(qǐng)你選用（Ⅰ）中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，確定污水處理廠的位置，使三條排污管道總長(zhǎng)度最短．
【解析】本小題主要考查函數(shù)最值的應(yīng)用．
（Ⅰ）①由條件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO= (rad) ，則 , 故
，又OP＝ 10－10ta ，
所以，
所求函數(shù)關(guān)系式為
②若OP= (km) ，則OQ＝10－，所以O(shè)A =OB=
所求函數(shù)關(guān)系式為
（Ⅱ）選擇函數(shù)模型①，
令 0 得sin ，因?yàn)?，所以 = ，
當(dāng) 時(shí)，，是的減函數(shù)；當(dāng) 時(shí)，，是的增函數(shù)，所以當(dāng) = 時(shí)，。這時(shí)點(diǎn)P 位于線段AB 的中垂線上，且距離AB 邊
km處。
18．設(shè)平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù) 的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過(guò)這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為C．求：
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)b 的取值范圍；
（Ⅱ）求圓C 的方程；
（Ⅲ）問(wèn)圓C 是否經(jīng)過(guò)某定點(diǎn)（其坐標(biāo)與b 無(wú)關(guān)）？請(qǐng)證明你的結(jié)論．
【解析】本小題主要考查二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、圓的方程的求法．
（Ⅰ）令＝0，得拋物線與軸交點(diǎn)是（0，b）；
令，由題意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．
（Ⅱ）設(shè)所求圓的一般方程為
令＝0 得這與＝0 是同一個(gè)方程，故D＝2，F(xiàn)＝．
令＝0 得＝0，此方程有一個(gè)根為b，代入得出E＝―b―1．
所以圓C 的方程為 .
（Ⅲ）圓C 必過(guò)定點(diǎn)（0，1）和（－2，1）．
證明如下：將（0，1）代入圓C 的方程，得左邊＝0 ＋1 ＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右邊＝0，
所以圓C 必過(guò)定點(diǎn)（0，1）．
同理可證圓C 必過(guò)定點(diǎn)（－2，1）．
19.（Ⅰ）設(shè) 是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列（），且公差，若將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)得到的數(shù)列（按原來(lái)的順序）是等比數(shù)列：
①當(dāng)n =4時(shí)，求的數(shù)值；②求的所有可能值；
（Ⅱ）求證：對(duì)于一個(gè)給定的正整數(shù)n(n≥4)，存在一個(gè)各項(xiàng)及公差都不為零的等差數(shù)列，其中任意三項(xiàng)（按原來(lái)順序）都不能組成等比數(shù)列．
【解析】本小題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合運(yùn)用．
（Ⅰ）①當(dāng)n＝4 時(shí)，中不可能刪去首項(xiàng)或末項(xiàng)，否則等差數(shù)列中連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列，則推出d＝0．
若刪去，則有即
化簡(jiǎn)得＝0，因?yàn)?≠0，所以 =4 ；
若刪去，則有，即，故得 =1．
綜上 =1或－4．
②當(dāng)n＝5 時(shí)，中同樣不可能刪去首項(xiàng)或末項(xiàng)．
若刪去，則有＝，即．故得 =6 ；
若刪去，則＝，即．
化簡(jiǎn)得3 ＝0，因?yàn)閐≠0，所以也不能刪去；
若刪去，則有＝，即．故得 = 2 ．
當(dāng)n≥6 時(shí)，不存在這樣的等差數(shù)列．事實(shí)上，在數(shù)列，，，…，，，中，
由于不能刪去首項(xiàng)或末項(xiàng)，若刪去，則必有＝，這與d≠0 矛盾；同樣若刪
去也有＝，這與d≠0 矛盾；若刪去，…，中任意一個(gè)，則必有
＝，這與d≠0 矛盾．
綜上所述，n∈{4，5}．
（Ⅱ）略
20.若，，為常數(shù)，
且
（Ⅰ）求對(duì)所有實(shí)數(shù)成立的充要條件（用表示）；
（Ⅱ）設(shè) 為兩實(shí)數(shù)，且 ,若
求證：在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度和為（閉區(qū)間的長(zhǎng)度定義為）．
【解析】本小題考查充要條件、指數(shù)函數(shù)與絕對(duì)值函數(shù)、不等式的綜合運(yùn)用．
（Ⅰ）恒成立
（*）
因?yàn)?
所以，故只需（*）恒成立
綜上所述，對(duì)所有實(shí)數(shù)成立的充要條件是：
（Ⅱ）1°如果，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)．因?yàn)?，所以區(qū)間關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)．
因?yàn)闇p區(qū)間為，增區(qū)間為，所以單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度和為
2°如果 .
（1）當(dāng) 時(shí). ，
當(dāng) ，因?yàn)?，所以，
故 =
當(dāng) ，因?yàn)?，所以
故 =
因?yàn)?，所以，所以即

當(dāng) 時(shí)，令，則，所以，
當(dāng) 時(shí)，，所以 =
時(shí)，，所以 =
在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度和
=
（2）當(dāng) 時(shí). ，
當(dāng) ，因?yàn)?，所以，
故 =
當(dāng) ，因?yàn)?，所以
故 =
因?yàn)?，所以，所以
當(dāng) 時(shí)，令，則，所以，
當(dāng) 時(shí)，，所以 =
時(shí)，，所以 =
在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度和
=
綜上得在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度和

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