∵△ACE,△BCF都是等邊三角形, ∴AC=EC,BC=FC,ACE=BCF=60°, ∴∠ACE+∠ACB=∠BCF+∠ACB, ∴△ACB≌△ECF, ∴BE=AF.
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我覺(jué)得可以從向量的角度來(lái)思考這個(gè)問(wèn)題，比純幾何更直接。假設(shè)點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)，點(diǎn)A在x軸上為(a,0)，點(diǎn)B在y軸上為(0,b)，那么AC=a，BC=b。接著構(gòu)造等邊三角形△ACE，由于是在Rt△ABC外側(cè)，E點(diǎn)的位置可以通過(guò)將向量AC旋轉(zhuǎn)-60度（即順時(shí)針60度）得到，同理F點(diǎn)由向量BC旋轉(zhuǎn)60度獲得。利用向量旋轉(zhuǎn)公式計(jì)算出E和F的坐標(biāo)后，再求出向量BE和AF，進(jìn)而計(jì)算它們的長(zhǎng)度和夾角。結(jié)果往往會(huì)發(fā)現(xiàn)|BE|=|AF|，也就是說(shuō)這兩條線段相等，這是這類(lèi)題常見(jiàn)的結(jié)論，背后體現(xiàn)了幾何變換中的對(duì)稱(chēng)美
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這題看著有點(diǎn)復(fù)雜其實(shí)思路還挺清晰的，首先Rt△ABC是直角三角形，直角在C點(diǎn)，所以AC和BC是兩條直角邊。然后以這兩條邊為邊向外作等邊三角形，也就是說(shuō)△ACE和△BCF都是等邊的，每個(gè)角都是60度，邊長(zhǎng)分別等于AC和BC。接下來(lái)連接BE和AF，這時(shí)候你可以考慮用全等三角形或者旋轉(zhuǎn)的思想來(lái)分析這兩個(gè)線段的關(guān)系，比如可以嘗試證明△ACF和△ECB全等，利用SAS判定，因?yàn)锳C=EC，BC=FC，夾角之間可能存在60度加直角的轉(zhuǎn)化關(guān)系，從而得出BE=AF
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這種幾何題我見(jiàn)得多了，屬于典型的構(gòu)造等邊三角形+連線探究性質(zhì)的類(lèi)型。核心思想往往是利用旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性。比如把整個(gè)△ACF繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度，可能會(huì)和另一個(gè)圖形重合，因?yàn)榈冗吶切伪旧砭途哂行D(zhuǎn)60度不變的特性。具體來(lái)說(shuō)，由于△ACE是等邊的，那么把CA旋轉(zhuǎn)60度就能得到CE；同理，CB旋轉(zhuǎn)60度得CF。這樣AF這條線段經(jīng)過(guò)相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)變換后可能剛好對(duì)應(yīng)到BE，說(shuō)明AF和BE不僅長(zhǎng)度相等，而且它們之間的夾角可能是60度或者別的特殊角度，這取決于旋轉(zhuǎn)方向和角度，值得深入推導(dǎo)一下
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C是直角頂點(diǎn)，AC和BC是直角邊，然后以它們?yōu)檫呁庾龅冗吶切?，注意方向不能錯(cuò)，必須是在三角形外部。比如從AC出發(fā)，逆時(shí)針或順時(shí)針構(gòu)造等邊△ACE，同理對(duì)BC構(gòu)造△BCF。連結(jié)BE和AF之后，通常這種題會(huì)問(wèn)它們是否相等或者夾角多少，雖然題目沒(méi)說(shuō)完，但大概率是要研究BE和AF的數(shù)量或位置關(guān)系。可以通過(guò)坐標(biāo)法來(lái)解，設(shè)C在原點(diǎn)，A在x軸，B在y軸，再算出E和F的坐標(biāo)，最后用距離公式驗(yàn)證BE和AF是否相等
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